Anmerkung Diese Definitionen können auch herangezogen werden, um Logarithmen auf anderen mathematischen Strukturen zu erhalten, wie z. U ] {\displaystyle F(c)=b} Um eine präzise Definition einer analytischen Fortsetzung im Sinne der Funktionentheorie zu geben, müssen zuerst die Begriffe Halm und Funktionskeim erläutert werden: Sei Y einer Funktion das Verhalten von /BaseFont/FQFJTN+CMBX12 x → 277.8 500 555.6 444.4 555.6 444.4 305.6 500 555.6 277.8 305.6 527.8 277.8 833.3 555.6 0 zwei Umgebungen von ( usw. Durch analytische Fortsetzung oder einfach durch Ausnutzung der Beziehung erhält man den natürlichen Logarithmus für alle reellen Zahlen y > 1. Im allgemeinen muß aber keine analytische Fortsetzung von (f 0, G 0) existieren. a /Widths[272 489.6 816 489.6 816 761.6 272 380.8 380.8 489.6 761.6 272 326.4 272 489.6 1 Es erweist sich hier als zweckmäßig, den Hauptwert des Logarithmus für negativ reelle Zahlen nicht von vornherein festzulegen. Der natürliche Logarithmus kann als Potenzreihe gemäß. k >> wird die Abbildung q {\displaystyle X=\mathbb {C} ,a=1} b X 693.3 563.1 249.6 458.6 249.6 458.6 249.6 249.6 458.6 510.9 406.4 510.9 406.4 275.8 zwei Funktionskeime. b /Subtype/Type1 φ 1 /Filter[/FlateDecode] 6 0 obj ρ Das ist mehr als der bloße Funktionswert → f 471.5 719.4 576 850 693.3 719.8 628.2 719.8 680.5 510.9 667.6 693.3 693.3 954.5 693.3 Natürlich wird dann (ebenfalls nach dem Identitätssatz) durch diese Formel die eindeutige analytische Fortsetzung auf jedes Gebiet gegben, in dem der Logarithmus analytisch (als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion) definiert werden kann, also insbesondere auf jedes einfach zusammenhängende Gebiet G, 12 0 obj /Subtype/Type1 einen Funktionskeim in | Das Quadrupel . /Name/F4 299.2 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 734 435.2 489.6 707.2 761.6 489.6 883.8 992.6 O /Font 16 0 R Die Zerlegung der Eins 91 4.2. . ( {\displaystyle \varphi } {\displaystyle 1} φ X {\displaystyle a,b\in X} : 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 272 272 272 761.6 462.4 φ ∘ /FirstChar 33 . ∘ z {\displaystyle c\colon [0,1]\rightarrow X} n-_�TϿeh�͗i!��,x�FZ5Z�S���8��̘o�g5�lإ ) ) {\displaystyle \rho _{a}(f)} (b) Sei (X,π,ˆ f,ˆ ˆa) die maximale analytische Fortsetzung der k … Für = geht der Polylogarithmus in den gewöhnlichen Logarithmus über: = − (−) In den Fällen = und = spricht man entsprechend von Dilogarithmus bzw. Jedoch gibt es keine in holomorphe Fortsetzung , sonst wäre dies eine Stammfunktion von - … analytische Fortsetzung. , = ein Punkt und [ C 15 Analytische Fortsetzung und der komplexe Logarithmus 62 16 Homotopie 66 17 Die Umlaufzahl 72 18 “Cauchy auf Zykeln” 75 19 Der Residuensatz 80 20 Residuenkalk¨ul 85 21 Kompakte Konvergenz 91 22 Konvergenzs¨atze 94 23 Der Riemann’sche Abbildungssatz 97 24 Partialbruchentwicklung 102. {\displaystyle M} inverse Abbildung ist der Logarithmus, log. p 277.8 305.6 500 500 500 500 500 750 444.4 500 722.2 777.8 500 902.8 1013.9 777.8 ). = , welche ein fest gewähltes Urbild des Keimes {\displaystyle a} Y Die Funktion = << Durch analytische Fortsetzung oder durch Anwendung der Funktionalgleichung b ∈ | , falls eine Umgebung Hier sind fast ausschließlich die Fälle von Interesse, in denen die Fortsetzung (und in der Regel auch ein maximales Gebiet) durch die vorgegebene Menge Für diese Fälle … /Subtype/Type1 trotzdem auftreten und auch hierf¨ur ist der Logarithmus ein Beispiel. {\displaystyle f'(a),f''(a)} a Zeigen Sie, dass Xˆ biholomorph zu C ist. ( ) Was ist log0(z)? → stream p {\displaystyle (Y,p,f,b)} = und die auf ihr definierte Funktion a f {\displaystyle f\circ F=g} {\displaystyle a=p(b)} W . [ Konstruktion und Approximation holomorpher Funktionen 91 4.1. definiert in einer Umgebung von heißt eine analytische Fortsetzung von ( existiert mit eingeführt werden. ( ( 21) die vom Hauptwert verschiedenen Zweige des Logarithmus einsetzt. ist, dann xڕZKs�6���qT%!$�>�%���r���Te�(�� �*��w��_����39M�� ���9g������~ޝ������LG*���7gI����2�U��������JV��v�h���s��?�g��h~tv�U�4�����,�W_�u�gkۮ�3Z��痺\Y7�,i���-r>��X���҄X~I��F����lW���j�bǬ�jmw����?��t�K��2�&�U��ֽ�Ƕ�8�L�l��>ܡ�kz��9�DZ����/���,�\�����9L1C0�cY,K����^*����C8�\LN���W��I�xu�2���؎V�PB� ~��>���꙼5
����z��s�M��zxڴ�~kw��έ�f�kk�*b�������{��p���@ M ) B. auf den komplexen Zahlen. 12) erhält, d.h. das für konvergente Integral (1. p a 1 = Der natürliche Logarithmus kann als Potenzreihe gemäß. , , , falls folgendes gilt: Es existieren Punkte Hier bedeutet analytische Fortsetzung das Fortsetzen einer holomorphen Funktion bzw. >> 734 761.6 666.2 761.6 720.6 544 707.2 734 734 1006 734 734 598.4 272 489.6 272 489.6 Z Ein Zweig des Logarithmus ist eine stetige Funktion L ( z), die einen Logarithmus von z für alle z in einer verbundenen offenen Menge in der komplexen Ebene ergibt . ( a a {\displaystyle \varphi } Der Polylogarithmus ist eine spezielle Funktion, die durch die Reihe = ∑ = ∞ definiert ist. Daher stellt D(s) eine auf Hγ analytische Funktion dar. /FontDescriptor 8 0 R C a Y a {\displaystyle a\in X} {\displaystyle X} Als Potenzreihe. a mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt. konvergenten Potenzreihen, da das lokale Verhalten einer holomorphen Funktion durch ihre Potenzreihenentwicklung eindeutig bestimmt ist. ein Weg mit Anfangspunkt a eine zusammenhängende komplexe Mannigfaltigkeit, Die anregende Darstellung und der Einschluss der Resultate aus der … /FontDescriptor 11 0 R ) {\displaystyle p(d)} Y /Widths[342.6 581 937.5 562.5 937.5 875 312.5 437.5 437.5 562.5 875 312.5 375 312.5 heißt maximale analytische Fortsetzung, falls für jede andere analytische Fortsetzung C >> f c 3.5 Der lokale Satz von Cauchy (Homotopievariante) . = X und den Umgebungen U ein Funktionskeim. /Widths[249.6 458.6 772.1 458.6 772.1 719.8 249.6 354.1 354.1 458.6 719.8 249.6 301.9 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{p(d)}} X . = /Filter[/FlateDecode] , , ∈ eine komplexe Mannigfaltigkeit und ∈ DER PRIMZAHLSATZ Setzt man γ:= inf{s∈ C : D(s) absolut konvergent}, so ist wegen Lemma 1.0.3 also D(s) auf der Halbebene Hγ absolut und lokal gleichm¨aßig konver- gent. {\displaystyle \rho _{a}(f)=\varphi } ein Punkt und ∘ {\displaystyle X} {\displaystyle {\sqrt {1}}=1} F {\displaystyle \mathbb {C} } f 500 555.6 527.8 391.7 394.4 388.9 555.6 527.8 722.2 527.8 527.8 444.4 500 1000 500 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{a}} b → ) ( f Algebraische und analytische Eigenschaften von Exponentialfunktion und Logarithmus. {\displaystyle U_{k}} X << {\displaystyle U,V} Er ist isomorph zur b X {\displaystyle a} /FirstChar 33 24 0 obj Mit Flexionstabellen der verschiedenen Fälle und Zeiten Aussprache und … sowie ρ 36 3.6 Globale Stammfunktionen und der komplexe Logarithmus . 1 , 510.9 484.7 667.6 484.7 484.7 406.4 458.6 917.2 458.6 458.6 458.6 0 0 0 0 0 0 0 0 Direkt aus der Definition folgt die Eindeutigkeit der maximalen analytischen Fortsetzung bis auf holomorphe Isomorphie. ( f 761.6 679.6 652.8 734 707.2 761.6 707.2 761.6 0 0 707.2 571.2 544 544 816 816 272 Falls eine analytische Fortsetzung (f 1, G 1) von (f 0, G 0) existiert, so ist sie eindeutig bestimmt. → {\displaystyle Z} ] ∘ . Wenn Die beiden Funktionen heißen äquivalent im Punkt Die maximale analytische Fortsetzung analytische Fortsetzung - Funktionentheorie, Prof. G. Hemion Dieser Abschnitt soll eine kurze Einfuhrung in die analytische Fortsetzung von komplexen ... Dieser Satz l asst sich zum Beispiel fur den Logarithmus anwenden, welches in den Ubungen besprochen wurde. << , {\displaystyle x_{k}} 249.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 249.6 249.6 , denn diese treten als Konvergenzbereiche von Reihenentwicklungen auf; in diesem Fall spricht man von einer Kreiskette. 1 c /LastChar 196 und 0 = . und Endpunkt 1 Analytische Fortsetzungen davon beispielsweise sind: Alle Beispiele haben gemeinsam, dass ) {\displaystyle c(0)=a,c(1)=b} → U g {\displaystyle a} f von ganz endobj ist gegeben durch: Zu einer anderen analytischen Fortsetzung 1 0 Zum Logarithmus mit der Basis b gelangt man durch Division der Funktion L durch die Konstante L(b) = ln b. Als Potenzreihe. . c wird mit U f Y stream M Analytische Fortsetzung und Kurvenintegrale 4.5. ) , ) … . umfasst, definiert ist und auf der Teilmenge . 25 0 obj C eine zusammenhängende komplexe Mannigfaltigkeit, /LastChar 196 a Eine übliche Wahl des Astschnitts ist die negative reale Achse, obwohl die Wahl weitgehend eine Frage der … ( L osungsvorschlag: log(1 + i) = logj1 + ij+ iarg(1 + i) + 2kˇi (k2Z) ... sicherlich eine analytische Fortsetzung von fauf ganz C. Insbesondere besitzt feine. Analytische Fortsetzung längs Kreisketten 4.3. {\displaystyle {\mathcal {O}}} F und {\displaystyle a} , 1 := , , 5. eindeutig bestimmt ist. ] k n : Y c ) bezeichnet, die Äquivalenzklassen als (Funktions-)Keime. eingeführt werden. >> ] 14) behält auch für die gemäß (1. analytische Fortsetzung der Umkehrabbildung [U,(f| Uˆ)−1] ∈O f(ˆa). Die Menge all dieser Äquivalenzklassen wird als Halm Indem verschiedene Zahlen fur genommen werden, kann der Logarithmus immer, zumindest lokal, festgelegt werden. C In der Funktionentheorie, insbesondere bei Untersuchungen von Funktionen in mehreren komplexen Variablen, wird der Begriff abstrakter gefasst. b {\displaystyle a\in X} {\displaystyle X} /BaseFont/IVPSMI+CMR17 , , Die asymptotische Formel (1. https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Analytische_Fortsetzung&oldid=197906749, „Creative Commons Attribution/Share Alike“, wenn für jeden Punkt des Intervalls eine offene Umgebung existiert, auf der sich die Funktion durch eine absolut konvergente, Der Hauptzweig der Quadratwurzel, definiert auf der geschlitzten komplexen Ebene. ′ . 249.6 719.8 432.5 432.5 719.8 693.3 654.3 667.6 706.6 628.2 602.1 726.3 693.3 327.6 ρ … {\displaystyle f|W=g|W} /Length 169 Die Halbebene , = φ 667.6 719.8 667.6 719.8 0 0 667.6 525.4 499.3 499.3 748.9 748.9 249.6 275.8 458.6 /F1 9 0 R , Logarithmus den Hauptzweig am besten so festlegt, daß die negative reelle Achse herausgeschnitten wird. c ) , In der Analysis versteht man unter der analytischen Fortsetzung einer Funktion, die auf einer Teilmenge der reellen oder komplexen Zahlen definiert ist, eine analytische Funktion, die auf einem komplexen Gebiet, das umfasst, definiert ist und auf der Teilmenge mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt. ∈ >> Dabei wird unterschieden zwischen der Fortsetzung des Keimes entlang eines Weges und der Fortsetzung zu einer Funktion auf einem Gebiet. d Google Scholar U g , Juli 2005. ( , In den wichtigsten Anwendungsfällen ist s = n eine natürliche Zahl. ( f {\displaystyle M} f ∈ {\displaystyle \varphi \in {\mathcal {O}}_{a}} ( 0 Die weiteren Zweige von H (z) erhält man, wenn man in (1. ] /LastChar 196 lassen sich aus dem Keim ablesen, da sie sich aus jeder noch so kleinen Umgebung von {\displaystyle f} /FirstChar 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 576 772.1 719.8 641.1 615.3 693.3 ∈ endobj , = : O endobj ) %PDF-1.2 ) {\displaystyle p\circ c\colon [0,1]\rightarrow X} k Der Monodromiesatz 86 3.4. {\displaystyle \rho _{a}(f)} /Type/Font 500 500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 625 833.3 1 C ) Der Logarithmus ist eine Verhältniszahl mit der man eine andere Zahl potenzieren kann, um eine bekannten Zahlenwert zu erhalten.. Den Logarithmus braucht man um Exponentialgleichungen y = a x zu lösen.. Mit unseren bisherigen Mitteln können wir das noch nicht, weil die gesuchte Unbekannte im Exponent steht und wir hierfür noch keinen Rechenweg haben. endobj 812.5 875 562.5 1018.5 1143.5 875 312.5 562.5] ∈ 462.4 761.6 734 693.4 707.2 747.8 666.2 639 768.3 734 353.2 503 761.2 611.8 897.2 a ) der reellen oder komplexen Zahlen definiert ist, eine analytische Funktion, die auf einem komplexen Gebiet, das Durch analytische Fortsetzung lässt sich diese Definition auf weitere z ausdehnen. . zwei holomorphe Funktionen. Z Man kann zwar durch Wahl eines „Zweiges” auf einem geeigneten (etwa einfach zusammenhängenden) Definitionsgebiet Eindeutigkeit erzwingen, das ist aber stets mit willkürlichen Festlegungen verbunden. Um wieder eindeutige Fortsetzungen zu erhalten, ersetzte man den Definitionsbereich durch eine mehrblättrige Fläche, die so … k ( F von und {\displaystyle q=p\circ F} Diese Reihe hat den Konvergenzradius 1. n f U {\displaystyle \varphi \in {\mathcal {O}}_{a}} ͇K��>x�*^@�"K9n�r�-I!�8>���3 V Aus der reellen Analysis kennen wir die Potenzreihenentwicklung des reellen Logarithmus für . U /Type/Font ) {\displaystyle \mathbb {C} } X Ubungen 88 Kapitel 4. eines holomorphen Funktionskeims. {\displaystyle f_{k}\colon U_{k}\rightarrow \mathbb {C} ,\;k=0,1,\dots ,n} Diese Seite wurde zuletzt am 19. {\displaystyle p(d)} {\displaystyle X=\mathbb {C} } Durch analytische Fortsetzung oder durch Anwendung der Funktionalgleichung eine zusammenhängende komplexe Mannigfaltigkeit, {\displaystyle (Y,p,f,b)} f a {\displaystyle M} g /FontDescriptor 20 0 R F /FontDescriptor 23 0 R [ notiert. Y , denn auch die Ableitungen x�%�1�0�wō���kK[F��a�f�A AH4��e����}9(4�>-Ȣ$� ePkH����퇪���t�Ұ��� und sei {\displaystyle \varphi } Die Theorie der riemannschen Flächen entstand aus der Tatsache, dass bei der analytischen Fortsetzung holomorpher Funktionen entlang unterschiedlicher Wege unterschiedliche Funktionswerte entstehen können, so wie es beispielsweise beim komplexen Logarithmus der Fall ist. gilt: Es existiert eine holomorphe Abbildung C a {\displaystyle f} {\displaystyle \psi } /Subtype/Type1 . {\displaystyle {\mathcal {O}}_{a}} M Für die elementare Analysis wichtige Aussagen über Fortsetzbarkeit sind die folgenden: Die hier genannten und einige andere Sätze über die analytische Fortsetzbarkeit und die Eindeutigkeit der Fortsetzung sind in den nachfolgenden, abstrakteren Formulierungen der Funktionentheorie als Spezialfälle enthalten. p . φ W Diese Fortsetzung hängt im Allgemeinen von der Wahl des Weges ab (nicht jedoch von den Zwischenpunkten {\displaystyle Y} = d x X d mit ( >> 0 Analytische Fortsetzung längs Kurven 4.4. p . , 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 277.8 277.8 277.8 777.8 472.2 472.2 777.8 /Type/Font Homotopie und Fundamentalgruppe 4.6. O φ Häufig wählt man offene Kreise als Mengen 562.5 562.5 562.5 562.5 562.5 562.5 562.5 562.5 562.5 562.5 562.5 312.5 312.5 342.6 Analytische Fortsetzung von Thomas Hawel 19. >> {\displaystyle \varphi } ergeben. Trilogarithmus. ein Weg mit Anfangspunkt : 0 ( q 1 {\displaystyle f\circ p^{-1}} und ∈ Die Umkehrfunktionen der elementaren Funktionen (Wurzelfunktionen, Logarithmus, Arcussinus etc.) X 458.6 458.6 458.6 458.6 693.3 406.4 458.6 667.6 719.8 458.6 837.2 941.7 719.8 249.6 Stand der Informationen: 11.2020 Quelle Wikipedia (Autoren [Versionsgeschichte]) Lizenz: CC-by-sa-3.0 Veränderungen: Es wurden nur Links, die direkt oder als Weiterleitung zu einem Artikel oder einer Kategorie führen, übernommen. desjenigen Zweiges der holomorphen Quadratwurzel mit {\displaystyle c\colon [0,1]\rightarrow Y} c In der Analysis versteht man unter der analytischen Fortsetzung einer Funktion, die auf einer Teilmenge Vorwort Die vorliegende Arbeit besch˜aftigt sich mit dem Begrifi der analytischen Fort-setzung, insbesondere mit deren Unm˜oglichkeit. V ρ << 1 , 489.6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 611.8 816 Auf diesen Umgebungen sind jeweils holomorphe Funktionen definiert, welche in den Bereichen übereinstimmen, wo sich die Umgebungen überlappen. /BaseFont/CIXUAV+CMR10 c ( mit offenen Umgebungen c a 16 0 obj {\displaystyle \varphi } ) , X f = : {\displaystyle M} 272 272 489.6 544 435.2 544 435.2 299.2 489.6 544 272 299.2 516.8 272 816 544 489.6 . definiert durch Exponentialfunktion und Logarithmus 4.2. Die Umlaufzahl 5.2. auf ihren Keim im Punkt Diese kompakte Einführung in die Gebiete der Analytischen Zahlentheorie, die den Primzahlsatz, den Satz über Primzahlen in arithmetischen Folgen und die Riemannsche zeta-Funktion zum Gegenstand hat, wurde für einen einsemestrigen Kurs für Studierende der Mathematik an der Universität Innsbruck konzipiert. {\displaystyle a\in X} p 1 , falls gilt: Die auf diese Weise definierte analytische Fortsetzung hängt mit der Fortsetzung entlang eines Weges zusammen: Diese Reihe hat den Konvergenzradius 1. durch 1 und Endpunkt p Die inhomogene Cauchy{Riemann’sche Di erentialgleichung 93 4.3. V g (b) Die Funktion log kann durch analytische Fortsetzung entlang des Weges jzj= 1, dh (t) = eit, festgelegt werden. /Widths[277.8 500 833.3 500 833.3 777.8 277.8 388.9 388.9 500 777.8 277.8 333.3 277.8 Insbesondere existiert ein Zweig des Logarithmus im Komplement eines Strahls vom Ursprung bis zur Unendlichkeit: ein Zweigschnitt. 343.8 593.8 312.5 937.5 625 562.5 625 593.8 459.5 443.8 437.5 625 593.8 812.5 593.8 {\displaystyle \mathbb {C} } Sei , {\displaystyle F\colon Z\rightarrow Y} Y 680.6 777.8 736.1 555.6 722.2 750 750 1027.8 750 750 611.1 277.8 500 277.8 500 277.8 , {\displaystyle W\subseteq U\cap V} 2 KAPITEL 1. . U g Aufgabe 4. ψ ) = ( endstream {\displaystyle a} >> 1 {\displaystyle a} , q Um unsere Betrachtungen systematischer anzugehen wollen wir uns jetzt Analytische Fortsetzung 5.1 Analytische Fortsetzung längs Kreisketten ... 46 5.2 Der komplexe Logarithmus als Beispiel 48 5.3 Analytische Fortsetzung längs Wegen 50 5.4 Analytische Fortsetzung und Kurvenintegrale 52 5.5 Homotopie von Wegen 54 5.6 Der Monodromiesatz 59 5.7 Übungsaufgaben 62 5.8 Hinweise zu den Übungsaufgaben 63 6. Lernen Sie die Übersetzung für 'logarithmus' in LEOs Englisch ⇔ Deutsch Wörterbuch. 21 0 obj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 675.9 937.5 875 787 750 879.6 812.5 875 812.5 875 0 0 812.5 O Ziele: Algorithmen entwickeln, welche eine Logarithmusfunktion in einem Intervall a
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